일반물리학 문제풀이(전기선속과 가우스법칙) -2

문제

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개념

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가우스 법칙 : 대칭성이 있는 가상의 폐곡면(예를 들어 구, 원통 등)을 전하를 중심으로 둘러싸서 그린 다음 내부에 있는 전하에 의해 만들어진 전기선속을 계산하는 수학적 방법. 이렇게 얻어낸 전기선속으로 전기장의 크기와 방향을 알아낼 수 있다. 가우스 법칙의 수식은 아래와 같다.

(Φ = 전기선속, q = 폐곡면 내부전하, ε = 유전율)

 

 

풀이

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먼저 (a) 번 문제의 상황을 그림으로 표현해 보았다.

그림의 하얀색 원이 반지름 a인 구 껍질이다. 그리고 그 바깥에 파란색 점선으로 표시된 원이 구 껍질 밖의 가상의 폐곡면인 가우스면이다. 구 껍질 중심에 1q의 전하가 있고 껍질 표면에는 -1q의 전하가 고르게 분포하고 있다. 그렇다면 전기력선은 그림과 같이 구껍질 안쪽에서만 그려지고 구 껍질 바깥으로 나오지 않는다. 왜냐하면 +1q의 전하와 -1q의 전하가 서로 크기가 같고 부호가 반대이기 때문에 구 바깥에서는 전기장이 완전히 상쇄되기 때문이다. 그래서 (a) 번의 정답은 0이다.

 

 

다음은 (b)번 문제의 상황을 그림으로 표현해 보았다.

파란색 점선으로 표시된 원이 가우스 면이다. 구 껍질 내부에서는 전기선속이 일정한 크기로 폐곡면(구)의 표면을 통과하므로 전기장의 크기를 구할 수 있다. 위에서 설명한 가우스법칙을 이용하면 된다.

E = q/Aε을 계산해 주면 정답이 나온다. 따라서 구 껍질 내부 전기장의 크기는 아래와 같다.

방향은 폐곡면 바깥으로 나가는 방향(outward)이다.

 

 

결론

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전기장을 계산하기 이전에 전기력선이 폐곡면을 통과하는지 여부가 중요하다고 생각한다.