벡터(vector) 개념잡기

사진: Unsplash 의 愚木混株 cdd20

 벡터란 무엇일까? 내가 고등학생 시절 배운 벡터의 정의는 크기와 방향을 가지는 화살표였다. 그렇게 알고 여태껏 살아왔다. 하지만 물리를 제대로 공부하려고 보니 벡터를 제대로 알지 못하면 기본적인 물리 개념을 제대로 이해하는 것이 어렵다는 것을 깨닫고 이 참에 벡터에 대해 제대로 개념을 잡아 보려고 글을 썼다.
 

정의

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 일반적으로 고등학교 과정이나 대학 물리학 및 공학 분야에서 벡터는 크기와 방향을 가지는 물리량(a quantity with a magnitude and a direction)으로 정의된다. 이렇게 정의되는 벡터를 유클리드 벡터(Euclidean vector) 혹은 기하적 벡터(geometric vector)라고 한다.
 
 

유클리드 공간

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 그렇다면 유클리드 공간은 무엇일까? 유클리드 공간이란 유클리드 기하학의 공리(axiom)를 만족하는 공간이다. 유클리드 공간에 있는 각 점의 위치를 고유하게 표현하기 위해 부여된 숫자가 좌표이며 이 좌표를 이용해 공간의 각 점을 표현하는 체계를 좌표계라고 한다. 유클리드 공간의 대표적인 좌표계가 Cartesian 좌표계이고 이 좌표계가 사람들이 흔히 알고 있는 좌표계다.
 
 

엄밀한 벡터의 정의

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 지금까지 내가 알아왔던 벡터는 유클리드 벡터(Euclidean vector)였다. 유클리드 벡터는 여러 벡터 중 하나이다. 그렇다면 다른 벡터들은 어떻게 정의될까? 수학적으로 벡터는 벡터공간의 원소로 정의된다. 벡터공간이 되려면 몇 가지 공리들을 모두 만족해야만 하고(이 공리는 대체로 연산에 관련된 내용이다. 이 부분은 필자도 잘 몰라서 자세히 다루지 않는다.) 이 공리들을 모두 만족했을 때 벡터공간이 된다. 이 벡터공간의 원소가 벡터다. 
 
 

정리

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1. 내가 지금까지 알아왔던 벡터는 유클리드 벡터다.
2. 유클리드 공간이란 유클리드 기하학의 공리를 만족하는 공간이다.
3. 벡터의 엄밀한 정의는 벡터공간의 원소이다.